Smerfy wpadają w tarapaty

Zdarzyło się pewnego razu, że Gargamel schwytał w wymyślnie skonstruowaną pułapkę smerfy. Miał zamiar je zjeść, ale przyszło mu do głowy, że wcześniej zagra z nimi w następującą grę. Przygotował czapeczki w różnych kolorach i oznajmił, co następuje:

– Moje małe smerfy, zaraz zawiążę wam oczy i założę na głowy czapeczki. Potem ustawię was w kolejce i dopiero wtedy zdejmę opaski. Każdy z was będzie widzieć kolory czapeczek wszystkich smerfów przed nim, ale nie będzie znał barwy swojej czapeczki ani czapeczek kolegów za sobą. Waszym zadaniem będzie odgadnąć kolor własnej czapki. Tego, kto trafi, obiecuję puścić wolno, jeśli jednak ktoś spudłuje – o, wtedy wyląduje w garnku! Będę was pytał po kolei, poczynając od stojącego na samym końcu. Jako odpowiedź wolno wam podać wyłącznie kolor czapeczki! Za gadulstwo, odwracanie się, przekazywanie sobie sygnałów czy jakiekolwiek inne oszukiwanie przerywamy zabawę i od razu przetapiam wszystkich na kamień filozoficzny. – W tym miejscu Gargamel dodał jeszcze, jakimi czapeczkami dysponuje.

Na to wystąpił Papa Smerf i powiedział:

– W takim razie pozwól nam najpierw się naradzić.

Gargamel przystał na propozycję – i wkrótce gorzko tego pożałował. Jaką najlepszą strategię mogły przyjąć – i tak zrobiły – smerfy? Ile smerfów wyszło z opresji w każdej z następujących sytuacji:

Level: przedszkolak

Były tylko dwa smerfy, Gargamel poinformował je wcześniej dodatkowo, że będzie im wybierać kolor czapeczek spośród zielonych i żółtych.

Level: umiarkowanie trudny

Smerfów było 30, Gargamel powiedział, że nałoży im tylko białe i czerwone czapeczki.

Level: ekspert

W kolejce stanąć miały 1024 smerfy, Gargamel zakładał im czapeczki w 10 różnych kolorach.

Level: matematyk

Smerfów było ℵ (nieskończenie wiele), a kolorów czapeczek 2.

Reklamy

4 uwagi do wpisu “Smerfy wpadają w tarapaty

  1. Level matematyk nie jest specjalnie skomplikowany, opiera się właściwie na tej samej zasadzie co level umiarkowanie trudny, a mianowicie…
    Każdy smerf może „policzyć” skończenie wiele smerfów przed sobą – niech to będzie jakieś ustalone N, tzn. że tak samo jak w przypadku umiarkowanie trudnym smerfy od 2 do N są w stanie w stu procentach się uratować, natomiast smerf 1 ma 50% szans. Ale skoro N było skończone to smerf N+1 znowu ma 50% szans i może on „policzyć” kolejną skończoną ilość smerfów, niech to będzie M. W ten sam sposób – tzn. (0;N], (N;M]… dzielimy dalej i dostajemy nieskończenie wiele przedziałów, w których każdy ma skończoną ilość smerfów, a pierwszy smerf w przedziale ma 50% szans na przeżycie. Ale jak łatwo wykazać istnieje bijekcja(nie będę podawał przykładu w komentarzu) z każdego przedziału na ilość smerfów, więc te zbioru są równoliczne. Z tego wynika, że zarówno alef zero smerfów się uratuje, jak i alef zero smerfów będzie miało 50% szans na ratunek.

    Powyższe rozumowanie zrozumieją zapewne tylko matematycy, natomiast skąd wzięło się 50% szans w skończonej liczbie smerfów (level umiarkowanie trudny) pisałem na swoim blogu w odpowiedzi do analogicznej zagadki – kapelusze śmierci, dla zainteresowanych:
    http://zagadki.websik.com/kapelusze-smierci/

    Lubię to

  2. Mała uwaga do mojego powyższego rozumowania – level matematyk:
    „z każdego przedziału na ilość smerfów” – przepraszam, tu jest mała dwuznaczność – uściślając chodziło mi oto, że bijekcja polega na tym, że każdemu przedziałowi jesteśmy w stanie przyporządkować jednego smerfa(korzystając z nieskończonej ilości przedziałów).

    Lubię to

  3. Osoba od której usłyszałem to zadanie po raz pierwszy twierdzi, że w wypadku przeliczalnie nieskończonej liczby krasnoludków da się uratować wszystkie poza co najwyżej skończenie (!) wieloma. Niestety nie potrafię tego uzasadnić, bo nie chciałem usłyszeć odpowiedzi. Wciąż nad tym dumam. 🙂

    Twój wariant można chyba znacznie uprościć po prostu każąc co drugiemu krasnoludkowi powiedzieć jaką czapkę ma następny.
    Btw. wydaje mi się, że sformułowanie „50% szansy na przeżycie” jest tutaj trochę niezręczne; od momentu ustawienia krasnoludków w zasadzie nie ma mowy o losowości, bo każdy wybór czapki został już zdeterminowany przez obraną strategię. Ale to akurat raczej detal. 🙂

    Pozdrawiam!

    Polubione przez 1 osoba

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s