Matematyka bez matematyki

Czasem problemy, które są z pozoru natury obliczeniowej czy dowodowej da się obejść i rozwiązać je bez użycia żadnej matematycznej aparatury. Tak na przykład przy zliczaniu elementów zbiorów w sukurs przychodzi umiejętność wymyślania historyjek. Zadanie, jakie chcę wam dzisiaj przedstawić da się rozwiązać tylko poprzez opowiadanie. Zamiast myśleć o abstrakcyjnych zbiorach, można sobie wyobrażać postacie, które coś robią – i trudny z pozoru problem rozwiązuje się sam. Oto przykład. Mamy dany n-elementowy zbiór X. Definiujemy zbiór Y:

zadanko_2

Chcemy pokazać, że Y ma dokładnie 5n elementów. Jak to uczynić bez angażowania matematyki?

Wyobraźmy sobie, że chcemy wyłonić do udziału w ankiecie pewną grupę osób. Zgłosiło się n rodzin, z których każda składa się z mamy, taty oraz dziecka. Jednak wiadomo, że jeśli do sondy zostanie wybrane jakiekolwiek dziecko, nie może w niej uczestniczyć żadne z jego rodziców (mogliby wpłynąć na głos dziecka, zaburzając wyniki ankiety). Pytanie brzmi: na ile sposobów można wyłonić grupę ankietowanych spośród zgłoszonych uczestników?

Zauważmy, że tak sformułowany problem dokładnie odpowiada liczeniu elementów zbioru Y: rodzinom rozdajemy numerki od 1 do n; zbiór A odpowiada zbiorowi wybranych do ankiety dzieci, zbiór B – zbiorowi wybranych mam, zbiór C – zbiorowi wybranych ojców. W ten sposób wszystkie te trzy zbiory osób można traktować jako podzbiory zbioru X={1,2,3, … ,n}, bo każda osoba dostała wcześniej numerek, który wylosowała jej rodzina. Warunkowi, że przecięcie zbioru A z sumą zbiorów B i C jest puste, odpowiada nasze kryterium wyboru ankietowanych: dziecko nie może zostać wybrane do sondy ani z mamą, ani z ojcem (czyli wśród numerków ankietowanych dzieci oraz numerków ankietowanych rodziców nie ma prawa być tego samego). Liczbie sposobów dokonania wyboru sondowanej grupy odpowiada poniższy wzór:

zadanko_1

Najpierw decydujemy, które k dzieci wybrać, co można uczynić na n po k sposobów. Następnie spośród kobiet nie będących matkami tych wybranych dzieci, których jest ich n-k, wybieramy uczestniczki badania. Mamy na to 2n-k możliwości, bo dla każdej z mam są dwie opcje: albo ją wybieramy, albo nie, czyli n-k razy mnożymy przez siebie dwójkę. Tak samo robimy dla ojców. Sumujemy po możliwej liczbie badanych dzieci – ponieważ wszystkich zgłoszonych dzieci jest n, to do ankiety można wziąć dowolną ich liczbę począwszy od 0, a skończywszy na n.

Jednak temu dziwnemu wzorowi wciąż daleko do tego, co chcemy uzyskać, czyli 5n.

Czy rzeczywiście? Zwińmy mnożenie 2n-k∙2n-k do postaci 4n-k (to jedyny moment w całym dowodzie, gdzie występuje jakaś matematyka!) i zapomnijmy o dzieciach, mamach i ojcach. Co właściwie wyraża wzór poniżej?

zadanko_3

Grupa n studentów czeka na egzamin ustny. W pięciu salach siedzą czekający na nich egzaminatorzy. k spośród studentów decyduje się wejść do pierwszej sali, pozostali wybierają jedną z pozostałych 4 sal. Studentów jest n, więc wejść do pierwszej sali może od 0 do n z nich, dlatego sumujemy po k przebiegającym liczby od 0 do n. Pozostali studenci mają po 4 opcje, bo wszystkich którzy weszli do pierwszej sali już wcześniej wskazaliśmy symbolem Newtona. Dlatego reszta wybiera jedną z czterech sal, co razem daje 4n-k sposobów. Czyli wzór powyżej wyraża liczbę wszystkich możliwości, na jakie studenci mogą wybrać, w której sali przesądzony zostanie ich los.

Ale można się było z tym nie patyczkować i po prostu spytać po kolei czekających na egzamin studentów, do której sali pójdą. Pierwszy z nich wskazuje jedną z 5 sal, drugi tak samo, trzeci też… I tak dalej, aż do n-tego studenta. To daje razem 5∙5∙5∙…∙5 możliwości (piątkę mnożymy przez siebie n razy), czyli 5n. W taki oto sposób, bez żadnych działań na zbiorach czy żmudnego zliczania pokazaliśmy, że |Y|=5n.

Jeśli ktoś z was miałby ochotę się pobawić w coś podobnego, poniżej zamieszczam kilka równości, które można uzasadnić wymyślając historyjki, czyli dowody kombinatoryczne.

dowody kombinatoryczne

Reklamy

4 uwagi do wpisu “Matematyka bez matematyki

  1. Tylko po co to odżegiwanie się od królowej nauk… Wszystko, co tu robimy wspaniale podpada pod matematykę, a nawet z zachowaniem tego samego sensu dałoby się zapisać formalnie! Oczywiście, może się wydawać, że tak nie jest,
    zwłaszcza po wielu latach szkoły, która zdaje się niechcący wpajać przekonanie, że w zadaniach nie ma miejsca na odrobinę fantazji.

    Polubienie

    1. Nie odżegnuję się od Królowej (gdzieżbym śmiała jako studentka matematyki 😉 ), a tylko starałam się pokazać, że w pewnych sytuacjach nim zaczniemy myśleć o czymś „znaczkami”, można pomyśleć w ten sposób. Mając już taką historyjkę, łatwiej będzie w razie potrzeby przenieść rozumowanie na formalny grunt. Oj, a sposób uczenia matematyki w szkołach to temat na dłuższą dyskusję.

      Polubienie

  2. Miło zatem tutaj natrafić na koleżankę po fachu 🙂 Gdzie Pani studiuje? Uwaga moja okazała się więc szczęśliwie dotyczyć jedynie tego, co zdawało się kryć w pewnych określeniach. Wspomniane podejście wiele wnosi do nowoodkrywanej matematyki. Bardzo często przebłysk geniuszu musi mieć miejsce poza kartką papieru i jedynie inspirować rachunek lub dokładne wyrażenie.

    Polubienie

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj / Zmień )

Connecting to %s